MÉTODOS DE MÍNIMOS CUADRADOS

Mínimos cuadrados 

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico enmarcada dentro de la optimizan matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, y una familia de funciones, se intenta encontrar la función continua, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias en las ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función elegida y los correspondientes valores en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio(LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos a procesar estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.

Historia 

El día de Año Nuevo de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi descubrió el planeta enano Ceres. Fue capaz de seguir su órbita durante 40 días. Durante el curso de ese año, muchos científicos intentaron estimar su trayectoria con base en las observaciones de Piazzi (resolver las ecuaciones no lineales de Kepler de movimiento es muy difícil). La mayoría de las evaluaciones fueron inútiles; el único cálculo suficientemente preciso para permitir aFranz Xaver von Zach, astrónomo alemán, reencontrar a Ceres al final del año fue el de Carl Friedrich Gauss, por entonces un joven de 24 años (los fundamentos de su enfoque ya los había planteado en 1795, cuando aún tenía 18 años). Sin embargo, su método de mínimos cuadrados no se publicó sino hasta 1809, y apareció en el segundo volumen de su trabajo sobre mecánica celeste, Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium. El francés Adrien-Marie Legendre desarrolló el mismo método de forma independiente en 1805.

En 1829, Gauss fue capaz de establecer la razón del éxito maravilloso de este procedimiento: simplemente, el método de mínimos cuadrados es óptimo en muchos aspectos. El argumento concreto se conoce como teorema de Gauss-Márkov.

Mínimos Cuadrados y Análisis de Regresión

En el análisis de regresión, se sustituye la relación

por

siendo el término de perturbación ε una variable aleatoria con media cero. Obsérvese que estamos asumiendo que los valores x son exactos, y que todos los errores están en los valores y. De nuevo, distinguimos entre regresión lineal, en cuyo caso la función f es lineal para los parámetros a ser determinados (ej., f(x) = ax² + bx + c), y regresión no lineal. Como antes, la regresión lineal es mucho más sencilla que la no lineal. (Es tentador pensar que la razón del nombre regresión lineal es que la gráfica de la función f(x) = ax + b es una línea. Ajustar una curva f(x) = ax² + bx + c, estimando a, b y c por mínimos cuadrados es un ejemplo de regresión lineal porque el vector de estimadores mínimos cuadráticos de a, b y c es una transformación lineal del vector cuyos componentes son f(x_i) + ε_i).

Los parámetros (a, b y c en el ejemplo anterior) se estiman con frecuencia mediante mínimos cuadrados: se toman aquellos valores que minimicen la suma S. El teorema de Gauss-Márkov establece que los estimadores mínimos cuadráticos son óptimos en el sentido de que son los estimadores lineales insesgados de menor varianza, y por tanto de menor error cuadrático medio, si tomamos f(x) = ax + b estando a y b por determinar y con los términos de perturbación ε independientes y distribuidos idénticamente (véase el artículo si desea una explicación más detallada y con condiciones menos restrictivas sobre los términos de perturbación).

La estimación de mínimos cuadrados para modelos lineales es notoria por su falta de robustez frente a valores atípicos (outliers). Si la distribución de los atípicos es asimétrica, los estimadores pueden estar sesgados. En presencia de cualquier valor atípico, los estimadores mínimos cuadráticos son ineficientes y pueden ser lo en extremo. Si aparecen valores atípicos en los datos, son más apropiados los métodos de regresión robusta.